У цій статті йдеться про надзвичайно незвичайну кількість «142857» - сто сорок дві тисячі вісімсот п'ятдесят сім. На перший погляд може здатися, що це просто набір цифр, які не пов'язані між собою. А якщо і є зв'язок між цифрами всередині цього числа (14 помножити на 2 дорівнює 28, а 28 помножити на 2 дорівнює 56, що в сумі з одиницею дає 57, а 57 помножене на 2 дорівнює 114 і так далі), то цей зв'язок не такий вже й особливий. Однак у нашого числа є інші, набагато більш дивовижні закономірності, про які ви дізнаєтеся нижче, і завдяки яким це число іноді називають «магічним» або «загадковим».
Що це за число?
Що це за число? Як написано у Вікіпедії, 142857 - це натуральне число, укладене між 142856 і 142 858. Однак таке скупе визначення і на малий дещицю не описує весь спектр особливостей цього незвичайного числа.
Звідки взялося це число? Не може ж бути, що у Вікіпедії з'явилася ціла стаття, присвячена якомусь дивному числу. Насправді, число 142857 з'явилося шляхом ділення одиниці на сім, або іншими більш формальними словами, воно є періодом розкладання звичайного дробу 1/7 в десятковий дріб:
1/7 = 0,142857142857… = 0,(142857)
Число 142857 у цьому досить простому дробі повторюється нескінченна кількість разів після коми. І ось на цьому і починається низка таємничих збігів.
Цікаві факти
Факт 1. Це число є циклічним при множенні на однозначні числа. Якщо це число множити на 1, 2, 3, 4 і так далі до 7, то цифри 1, 4, 2, 8, 5 і 7 будуть так і залишатися у творі. Більше того, порядок цих цифр не буде змінюватися: вони будуть знаходитися в тій же самій послідовності один за одним, враховуючи, що за крайньою правою цифрою слідує крайня ліва.
- 142 857 × 1 = 142 857
- 142 857 × 2 = 285 714
- 142 857 × 3 = 428 571
- 142 857 × 4 = 571 428
- 142 857 × 5 = 714 285
- 142 857 × 6 = 857 142
Як нам вже відомо, ця кількість є періодом дробу 1/7. Отже, 0,142 857 ^ 7 = 0,999999, що практично дорівнює одиниці. А всі натуральні множники, більші ніж сім, вже не будуть давати циклічність.
Факт 2. У даного числа є безліч прикладів циклічності.
Якщо з квадрата останніх трьох цифр відняти квадрат перших трьох цифр, то вийде також циклічний результат зсуву, а саме число: 714 285.
Якщо звести наше магічне число в квадрат, то ми отримаємо 142 857 ст.1 142 857 = 20 408 122 449. А після додавання останніх шести цифр до перших п'яти (122 449 + 20 408) виходить знову 142 857.
Якщо ділити це число на 2 або 5, то ми знову отримаємо ті ж цифри в потрібній послідовності
- 142857 / 2 = 71 428.5
- 142857 / 5 = 28 571.4
Цей факт можна пояснити простою властивістю, яка пов'язує поділ на 2 з множенням на 5, а поділ на 5 з множенням на 2. Про це читайте детальніше в одному з уроків за усним рахунком на нашому сайті.
Факт 3. Суми частин числа 142857 дають числа з дев'яток. Якщо число 142 857 розбити на 2 частини, тобто 142 і 857 і скласти їх, то вийде 999. А якщо на 3 частини, тобто 14, 28 і 57, а потім теж скласти, то вийде 99.
- 1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9
- 14 + 28 + 57 = 99
- 142 + 857 = 999
Факт 4. Співвідношення сторін аркуша формату A4 є десятковим дробом з періодом, рівним нашому числу. Так стандартна довжина аркуша A4 дорівнює 297 мм, а ширина становить 210 мм. Пропорція, яка дорівнює довжині ширини аркуша, виглядає таким чином 297/210 = 1,4 (142857).
Факт 5. Це число є числом харшад. Числами харшад називаються числа, що діляться націло на суму цифр, з яких вони складаються. Якщо число 142 857 розділити на суму «1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7», що дорівнює 27, то ми отримаємо ціле натуральне число 5291.
Олімпіадне завдання
Це число використовують і для перевірки ерудиції та логічного мислення школярів і студентів. В одній з олімпіад з математики було завдання з наступною умовою:
На яке число, яке не дорівнює нулю, треба помножити 142857, щоб вийшло число, записане однаковими цифрами?
Відповідь на це завдання криється в принципі отримання даного числа. Як вже було сказано, число 142857 стало відомо завдяки поділу одиниці на сім (1/7 = 0,142857 і помножити мільйон). Отже, можна сміливо стверджувати, що якщо ми знову помножимо дане число на 7, то відповідь буде прагнути до одного мільйона, але не буде дорівнювати йому, так ми округлювали приватне в меншу сторону.
142 857 × 7 = 999 999
Відповідь: щоб вийшло число, записане однаковими цифрами, потрібно помножитися 142857 на однозначне число 7.
Відгуки та коментарі
Як не дивно, у цій статті описано далеко не всі таємниці числа 142857. Наприклад, воно також є числом Капрекара, яке можна звести до постійної 6174. Але подібні факти вже є інтелектуальними вишукуваннями. Якщо ви знайшли інші незвичайні закономірності даного числа, можете залишати коментарі у формі нижче. Крім того, зверніть увагу на такі матеріали нашого сайту:
- Список найпопулярніших чисел рунету
- Уроки за усним рахунком
- Вирішення завдання Рачинського